Center za uporabno matematiko in teoretično fiziko
Univerza v Mariboru, Slovenija
Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS
|
|
CAMTP Center za uporabno matematiko in teoretično fiziko Univerza v Mariboru, Slovenija |
|
|
|
ARRS Javna agencija za raziskovalno dejavnost RS |
CAMTP – Center za uporabno matematiko in teoretično fiziko Univerze v Mariboru (0176)
1.10.2022 – 30.9.2025
ARIS – Javna agencija za znanstvenoraziskovalno in inovativno dejavnost Republike Slovenije
108.000 EUR letno
Prof. Dr. Marko Robnik, direktor CAMTP, 11337
Projekt je na področju kvantnega oziroma valovnega kaosa. Kvantna ali dinamična lokalizacija je eden ključnih pojavov v kvantnih klasično kaotičnih sistemih, nasprotna drugemu pomembnemu pojavu, namreč kvantni resonanci. Kvantna dinamika v klasično kaotičnih sistemih sledi klasični kaotični difuziji do Heisenbergovega časa, ko evolucijski operator še ne zazna lastne spektralne diskretnosti, za daljše čase pa se manifestira diskretnost tega spektra, pride do interferenčnih efektov, ki so tipično destruktivni in privedejo do ustavitve difuzije, torej do kvantne lokalizacije. Ta pojav se manifestira tudi v strukturi lastnih stanj v časovno neodvisnih kakor tudi v časovno periodičnih (Floquetovih) sistemih. Osrednja tema naših raziskav bo podrobna analiza lokalizacije, namreč empirični numerični opis lastnih stanj ter kvantna in semiklasična teorija lokalizacije, ne le povprečne vrednosti lokalizacijskih mer, temveč tudi njihovih porazdelitev. Nadalje bomo podrobno raziskovali povezavo med lokalizacijo lastnih stanj ter statistiko spektrov (energije ali kvazi energije). Na primer, raziskali bomo povezavo med stopnjo lokalizacije ter Brodyjevim parametrom beta. Pomembni modelski sistemi so t.i. Robnikov biiljard, epsilon-stadion Bunimoviča, Dickeov model laserja, ter vodikov atom v močnem magnetnem polju, večdelčni sistem Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou kot časovno neodvisni sistemi, ter kvantni brcani rotor kot časovno periodični sistem (Floquetov sistem), kvantna brcana vrtavka, poleg tega pa tudi drugi nelinearni enodimenzionalni Floquetovi sistemi, kot je n.pr. periodično modulirani kvartični oscilator. V slednjem primeru imamo kaos v klasičnem faznem prostoru, kaotično difuzijo in energija delca se lahko neomejeno povečuje (Fermijevo pospeševanje), zanima pa nas pod kakšnimi pogoji nastopi kvantna resonanca oziroma kvantna lokalizacija. Raziskali bomo pa tudi časovni razvoj kvantnih stanj v klasično kaotičnem režimu, ter preverili kako je le ta kvantitativno odvisna od relacije med klasičnim transportnim časom ter Heisenbergovim časom. Predlagali bomo eksperimente z mikrovalovnimi resonatorji, ki jih bi lahko izvedla skupina Prof. Hansa-Juergena Stoeckmanna na Univerzi v Marburgu, Nemčija, ter v laboratoriju Prof. Ulricha Kuhla na Univerzi v Nici, Francija. Nenazadnje bomo proučevali tudi višjedimenzionalne paradigmatične sisteme, kot so n.pr. Prosenovi biljardi (1998). Kvantna lokalizacija kaotičnih stanj privede tudi do posplošitve Berry-Robnikove teorije statistike spektrov v sistemih mešanega tipa.
Rezultate bomo objavili v uglednih mednarodnih znanstvenih revijah, ter jih predstavili na številnih mednarodnih konferencah, vključno s tistimi, ki jih redno organizira Prof. Robnik na CAMTP in so svetovno vrhunske, kot so n.pr. mednarodne poletne šole in konference "Let's Face Chaos through Nonlinear Dynamics" ter drugi simpoziji (Japan-Slovenia Seminars, Christmas Symposia, European Advanced Studies Conferences, etc.). Problemi v klasično kaotičnih kvantnih sistemih, torej tudi v sistemih mešanega tipa, so zelo kompleksni, hkrati pa izredno pomembni, saj so vsi generični hamiltonski systemi ravno mešanega tipa. Razumevanje podrobnih mehanizmov kvantne lokalizacije kaotičnih stanj je izjemnega pomena. Naši izsledki bodo prispevali k novim spoznanjem po teoretični, eksperimentalni in uporabni plati (atomski, molekulski, mezoskopski in tudi nano sistemi, ter klasični valovni sistemi, elektromagnetni, akustični, elastični, itd.)
Pregledni članek vodje projekta Prof. M. Robnik, ki obravnava dosedanje stanje raziskav v stacionarnem kvantnem kaosu, je bil nedavno objavljen kot posebno poglavje v monografiji
ROBNIK, Marko. Recent advances in quantum chaos of generic systems : wave chaos of mixed-type systems. V: MEYERS, Robert A. (ur.). Encyclopedia of complexity and systems science. Living ed. Berlin: Springer. 4. feb. 2020, 17 str. Springer reference. ISBN 978-3-642-27737-5, ISBN 3-642-27737-3. COBISS 98261249
Kvantni kaos je študij lastnosti kvantnih sistemov, namreč njihovega razvoja v času, lastnih stanj ter energijskih spektrov, pa tudi spektrov drugih opazljivk, ki so klasično kaotični, bodisi v celoti (ergodični v faznem prostoru oziroma na energijski ploskvi) ali pa delno, namreč mešanega tipa, ko v faznem prostoru koeksistirajo območja regularnega ter kaotičnega klasičnega gibanja. Slednje imenujemo sisteme mešanega tipa, ki so generični sistemi, t.j. skoraj vsi hamiltonski sistemi so tega tipa. Čeprav ime "kvantni kaos" skorajda zavaja, kakor da gre samo za študij kvantnomehanskih sistemov, temu ni tako, saj so motivacije, pristopi, metode in rezultati kvantnega kaosa uporabni v vseh valovnih sistemih, kot so n.pr. elektromagnetni valovi, še posebej n.pr. optični sistemi, mikrovalovni sistemi, akustična valovanja, fluidna površinska valovanja, seizmični valovi, plazemski valovi, itd. ki jih obravnavamo s podobnimi parcialnimi diferencialnimi enačbami. Relacija med kvantno mehaniko in klasično mehaniko je natanko analogna oziroma celo ekvivalentna relaciji med valovno mehaniko ter žarkovno mehaniko v drugih valovnih sistemih. Tak primer sta n.pr. valovna optika in Gaussova optika žarkov. Klasična mehanika je "mehanika žarkov" kvantne mehanike, in na njen "skelet" teoretično napenjamo s pomočjo semiklasičnih metod valovne lastnosti kvantnih sistemov, seveda v približku dovolj majhne efektivne Planckove konstante (približek kratkih valov). V tem smislu je semiklasična mehanika ključna vez med klasičnim in kvantnim kaosom, in prav z uporabo takšnih metod se je posrečilo teoretično izpeljati oziroma dokazati ključne empirične ugotovitve ali pa domneve v kvantnem kaosu. Kljub veliki širini področja se je ohranilo ime "kvantni kaos", namesto "valovni kaos", a se je potrebno zavedati navedene širine tega raziskovalnega področja teoretične in eksperimentalne fizike v vseh valovnih sistemih, ki ima aplikacije v skoraj vseh vejah fizike (kvantna mehanika, trdna snov, molekulska fizika, atomska fizika, jedrska fizika, kvantna teorija polja in fizika visokih energij, elektromagnetna in druga zgoraj navedena valovanja). Eno od osnovnih spoznanj v stacionarnem kvantnem kaosu je t.i. Bohigas-Giannoni-Schmit Conjecture (Phys.Rev.Lett. Jan. 1984) (domneva), da je namreč statistika spektralnih fluktuacij klasično povsem kaotičnih sistemov opisana natanko s statistiko Gaussovih naključnih matrik (GRMT: Gaussian Random Matrix Theory), pod pomembnim semiklasičnim pogojem, da je Heisenbergov čas daljši od vseh transportnih časov v pripadajočem kaotičnem klasičnem sistemu. Heisenbergov čas je definiran kot razmerje med Planckovo konstanto ter srednjim razmikom med energijskimi nivoji, in je pomemben karakteristični čas v dinamiki in strukturi vseh kvantnih sistemov z diskretnim energijskim spektrom. Domneva je prepričljivo potrjena numerično in eksperimentalno, v novejšem času pa je uspela tudi izpeljava s pomočjo semiklasičnih metod (Berry 1985, Richter and Sieber 2001, Haake et al 2004-2015), namreč v izračunu t.i. faktorja oblike (form factor). Jedro metode je Gutzwillerjeva teorija periodičnih orbit. Če je omenjeni semiklasični pogoj izpolnjen, vidimo tudi univerzalno vedenje lastnih stanj: velja princip enakomerne semiklasične kondenzacije Wignerjevih funkcij v klasičnem in kvantnem faznem prostoru (Principle of Uniform Semiclassical Condensation - PUSC; Percival 1973, Berry 1977, Robnik 1988-1998), na klasičnih invariantnih komponentah. Kaotične valovne funkcije se vedejo kot naključne Gaussove funkcije v konfiguracijskem prostoru, katerih srednja gostota je določena s PUSC, v smislu projekcije Wignerjeve funkcije iz faznega na konfiguracijski prostor. Če navedeni semiklasični pogoj ni izpolnjen, se pojavi t.i. kvantna ali dinamična lokalizacija. Namreč, v časovno odvisni sliki, ko študiramo časovni razvoj stanj v kaotičnem režimu, n.pr. valovnih paketov, vidimo, da kvantna evolucija sledi klasični, vključno z difuzijo, vendar samo do Heisenbergovega časa -- ko sistem slikovito rečeno "spozna", da je spekter evolucijskega operatorja diskreten, za razliko od klasičnega evolucijskega operatorja (Liouvilleovega operatorja), ki ima v primeru klasičnega kaosa zvezen spekter -- ko se difuzija ustavi. Namreč, za čase daljše od Heisenbergovega časa, se manifestira valovni značaj kvantne mehanike, pride do interference, ki je skoraj zmerom destruktivna, in zato ustavi kvantno difuzijo. Torej, če je Heisenbergov čas krajši od klasičnega transportnega časa, potrebnega za "osvojitev" vsega razpoložljivega kaotičnega območja v klasičnem faznem prostoru, pride do kvantne lokalizacije. Ta pojav je eden osrednjih in značilnih vprašanj v kvantnem kaosu. Lokalizirana stanja so tipično eksponentno lokalizirana, n.pr. v primeru brcanega kvantnega rotorja, v prostoru kvantnega števila vrtilne količine. Kvantna lokalizacija pa se pojavi tudi v čisto stacionarni sliki, namreč, ko gledamo strukturo lastnih stanj ter pripadajočih Wignerjevih funkcij, ali pa Husimijevih funkcij, v kvantnem faznem prostoru: le-te niso več enakomerno razmazane po vsem klasično dosegljivem faznem prostoru, temveč "živijo" na pravi podmnožici razpoložljivega klasičnega kaotičnega faznega prostora. PUSC ne velja več, zaradi kvantne lokalizacije. V analogiji z brcanim kvantnim rotorjem smo uvedli lokalizacijsko mero stacionarnih kaotičnih stanj na osnovi informacijske entropije Husimijevih funkcij. Zelo pomembna pa je tudi manifestacija kvantne lokalizacije v spektralni statistiki kaotičnih sistemov: velja Brodyjeva porazdelitev med sosednjimi nivoji, za katero je značilno, da ima ulomljeno potenčno odbijanje sosednjih nivojev, kar smo pokazali v kvantnem brcanem rotorju (Manos and Robnik 2013, Batistić, Manos and Robnik 2013), ter v t.i. Robnikovem biljardu (1983,1984) kot pomembnih modelskih sistemih za ilustracijo ter preveritev splošne teorije. Pokazali smo, da obstaja funkcionalna odvisnost med mero lokalizacije ter spektralnim Brodyjevim parametrom (Batistić and Robnik 2013). Iz navedenega jasno sledi, da je pojav kvantne lokalizacije izjemno pomemben, je ena od osrednjih tem kvantnega kaosa klasično kaotičnih sistemov, in osrednja tema predlaganega raziskovalnega projekta. V sistemih mešanega tipa v dovolj globoki semiklasični limiti velja t.i. Berry-Robnikova slika (Berry and Robnik 1984, Robnik et al 1994-2014), ko lahko pojmovno ločimo regularna in kaotična stanja. Tedaj, zaradi odsotnosti efektov tuneliranja, lahko spektralne statistične lastnosti obravnavamo kot statistično neodvisno superpozicijo regularnih in kaotičnih spektralnih sekvenc, saj velja PUSC. Ta teorija je temeljito preverjena tudi numerično na modelskih sistemih (Prosen and Robnik 1994, Prosen 1998, Prosen and Robnik 1999, Batistić and Robnik 2010, 2013, Batistić, Manos and Robnik 2013), predvsem uporabljajoč t.i. Robnikov biljard (1983,1984). Slednji je enoparametrična družina generičnih biljardov med integrabilnim (krog) in povsem kaotičnim sistemom (lambda=1/2). Nadalje smo pokazali, da lahko s pomočjo Husimijevih funkcij ločimo regularna in kaotična stanja, ter da imajo prva Poissonovo statistiko, in druga Brodyjevo, in sicer natanko zaradi kvantne lokalizacije Husimijevih funkcij. Efekte tuneliranja lahko pri takšnih visokih energijah zanemarimo, a smo jih proučevali v prejšnjih delih (Vidmar et al 2007, Baecker et al, Phys. Rev. Lett., 2008, Batistić and Robnik 2010) pri nizkih energijah. Veliko je še odprtih vprašanj okoli kvantne lokalizacije, in le-ta so predmet predlaganega projekta. V prvi vrsti je potrebno v kvantnem brcanem rotorju kot glavnem modelu časovno periodičnega (Floquetovega) sistema proučiti manifestacijo anomalne difuzije v kvantni lokalizaciji: ali so stanja res zmerom eksponentno lokalizirana (v prostoru kvantnega števila vrtilne količine)? Kako je lokalizacijska dolžina odvisna od klasične posplošene (anomalne) difuzije, ki smo jo (slednjo) temeljito analizirali v najnovejšem članku (Manos and Robnik 2014), v kontekstu pospeševalnih območij (accelerator modes)? Kakšen je vpliv kvantne resonance, oziroma njene bližine v danem sistemu? Pred nedavnim smo pokazali s pomočjo numeričnih računov (Manos and Robnik 2015), da ima lokalizacijska dolžina v kvantnem brcanem rotorju porazdelitev z neničelno varianco tudi v neskončno dimenzionalnem modelu. Semiklasično teorijo lokalizacijske dolžine bomo izboljšali ter izvedli vrsto sistematičnih in izčrpnih numeričnih simulacij, ki so izjemno zahtevne. Druga vprašanja se odpirajo v avtonomnih (časovno neodvisnih) hamiltonskih sistemih. Zanima nas lokalizacijska mera kaotičnih stanj, v različnih ekvivalentnih formulacijah, namreč kot informacijska entropija stanj ter kot korelacijska mera, in druge, tako v povsem kaotičnih sistemih kakor tudi v sistemih mešanega tipa, kjer lahko ločimo regularna in kaotična stanja. Pred nedavnim odkrita funkcionalna povezava med lokalizacijsko mero ter Brodyjevim spektralnim parametrom (Batistić and Robnik 2013, objavljeno v Phys.Rev. E) v avtonomnem hamiltonskem sistemu bo deležna nadaljnjih numeričnih in teoretičnih študij. Pri tem je potrebno zelo podrobno razumevanje transportnih procesov v klasičnih kaotičnih sistemih, za kar so potrebni zahtevni numerični računi ter novi teoretični pristopi. Tu se odpira vrsta podrobnih vprašanj različnih mehanizmov in vplivov na klasični transport, od periodičnih orbit in njihove okolice do cantorusov. Zanimajo nas univerzalnostne lastnosti sistemov. Naše raziskave bodo usmerjene v osrednjo teoretično vprašanje povezave med strukturo stanj in njihovo lokalizacijsko mero ter spektralno statistiko in Brodyjevim parametrom, v časovno odvisnih ter v časovno neodvisnih sistemih. Poleg biljardnih modelskih sistemov bomo proučevali še druge, kot je n.pr. vodikov atom v močnem magnetnem polju, ki je primer kvantnega kaosa par excellence (Robnik 1981,1982,1989), tako imenovani Dickeov model (laserja; sklopitev atomskega dvonivojskega sektorja z bozonskim fotonskim poljem), Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou sistem (oba kot primer časovno neodvisnega več delčnega sistema), in kvantni brcani rotor, kvantna brcana vrtavka, ter druge Floquetove systeme. Naši rezultati bodo prispevali k razumevanju kvantne lokalizacije v kvantnih in drugih valovnih sistemih navedenih uvodoma, še posebej pa si bomo prizadevali za izvajanje eksperimentov, ki jih bomo predlagali odličnim eksperimentalnim skupinam.
Projekt zelo dobro napreduje v skladu z načrtovanim programom. Izvedli smo vrsto izjemno obsežnih raziskav in študij uporabljajoč intenzivne numerične metode ter razvili obširne semi-empirične teorije. Do sedaj smo dosegli in objavili naslednje rezultate.
Cilj 1: Spektralna statistika kvantno lokaliziranih kaotičnih lastnih stanj v kaotičnem 3-delčnem sistemu Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT) sistemu in vloga Heisenbergovega časa
V modelskem sistemu FPUT s tremi delci, ki se zreducira na problem enega delca v dvodimenzionalnem gladkem potencialu, smo kot prvi analitično izračunali gostoto stanj, in sicer uporabljajoč Thomas-Fermijevo pravilo, kakor tudi uporabljajoč t.i. kvantno tipičnost (quantum typicality), in pokazali, da se teorija popolnoma ujema z numeričnimi natančnimi izračuni energijskega spektra. V primeru zgolj kubičnega potenciala je sistem natanko dobro znani sistem Henona-Heilesa, v splošnem primeru pa imamo tudi kvartični potencial. Nato smo analizirali statistiko energijskih spektrov, ter pokazali klasično in kvantno, da imamo prehod od regularnega režima do povsem kaotičnega režima, preko vmesnega režima tipa Berry-Robnika. Spektri so zelo dobro opisani s t.i. porazdelitvijo Berry-Robnik-Brody, kjer upoštevamo tudi kvantno lokalizacijo kaotičnih stanj v faznem prostoru, čeprav je relativno šibka. Članek je v procesu objave.
[1] Hua Yan and Marko Robnik, Chaos and quantization of the three-particle generic Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou model I: Density of states and spectral statistics, submitted to Phys.Rev.E, January 2024; https://arxiv.org/pdf/2401.05188.pdf
Cilj 2: Husimije funkcije ter njihove statistične lastnosti v generičnih kaotičnih sistemih ter prehod v semiklasično limito
Proučili smo strukturo lastnih stanj v tridelčnem FPUT sistemu na osnovi analize Husimijevih funkcij. Razcepili smo regularna in kaotična stanja, ter mešana stanja, uvedli t.i. indeks prekrivanja in njegovo statistično porazdelitev. Pokazali smo, da delež mešanih stanj pojema kot potenčni zakon v semiklasični limiti, popolnoma v skladu s PUSC, kar je univerzalna lastnost mešanih kvantnih sistemov, le eksponent je specifičen za dani sistem, in se torej razlikuje od sistema do sistema. Analizirali smo tudi lokalizacijske mere kaotičnih stanj ter pokazali, da je njihova porazdelitev zelo dobro opisana z beta porazdelitvijo.
[2] Hua Yan and Marko Robnik, Chaos and quantization of the three-particle generic Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou model II: phenomenology of quantum eigenstates; submitted to Phys.Rev.E, January 2024 https://arxiv.org/pdf/2401.13070.pdf
Cilj 3: Analiza semiklasičnega limitnega vedenja v kvantni brcani vrtavki
V primeru kvantne brcane vrtavke (quantum kicked top), kot primer čassovno periodičnega sistema, primer t.i. Floquetovega sistema, smo izvedli popolno analizo lastnih stanj s pomočjo Husimijevih funkcij. Obravnavali smo predvsem režim mešanega tipa, ko regularna območja koeksistirajo s kaotičnimi območji v klasičnem faznem prostoru, kar se direktno zrcali v strukturi Husimijevih funkcij. Pokazali smo, da se delež mešanih stanj zmanjšuje v skladu s potenčnim zakonom, katerega eksponent je odvisen od specifičnega sistema, a je sicer univerzalno veljaven, kar je popolnoma v skladu s principom enakomerne semiklasične kondenzacije (PUSC) Wignerjevih oziroma Husimijevih funkcij.
[3] Qian Wang and Marko Robnik, Power-law decay of the fraction of the mixed eigenstates in kicked top model with mixed-type classical phase space, Phys. Rev. E 108, 054217 (2023)
Cilj 4: Analiza semiklasičnega limitnega vedenja v Dickeovem modelu
Dickeov model (1954) je sicer preprost model laserja, kot večdelčni sistem - imamo N dvonivojskih atomov sklopljenih z bozonskim poljem (fotoni) - vendar izkazuje izjemno kompleksno fizikalno vedenje. Analizirali smo njegovo klasično, semiklasično in kvantno vedenje, predvsem strukturo Husimijev funkcij ter njihovih sekcij v odnosu do klasične dinamike (klasične limite Dickeovega modela, ki ima gladek potencial). Razcepli smo regularna stanja, kaotične stanja ter mešana stanja, uvedli indeks prekrivanja ter analizirali njegovo porazdelitev. Pokazali smo, da tudi v tem večdelčnem sistemu delež mešanih stanj pojema v skladu s potenčnim zakonom, kar je univerzalna ugotovitev, a eksponent je odvisen od specifičnega sistema.
[4] Qian Wang and Marko Robnik, Mixed eigenstates in the Dicke model: Statistics and power-law decay of the relative proportion in the semiclassical limit, accepted in Phys. Rev. E, Februray 2024; https://arxiv.org/abs/2309.11740
Cilj 5: Teoretična analiza in numerične simulacije spektralne statistike kvantnih sistemov mešanega tipa. Zanima nas porazdelitev razmerij zaporednih razmikov med energijskimi nivoji (level spacing ratio distribution) kvantnih sistemov mešanega tipa. Izpeljali smo teoretični analitični opis te porazdelitve, predpostavljajoč samo eno regularno in eno kaotično komponento, in ga preverili v modelskih sistemih, kjer smo izračunali natančne energijske spektre v klasično gledano mešanih režimih. Delo je v teku, v zaključni fazi. Rezultat bo novo orodje za analizo kvantnih režimov mešanega tipa, tudi v večdelčnih sistemih.
Cilj 6: Podrobno in sistematično razumevanje vplivov cantorusov ter lepljivosti (v klasičnem faznem prostoru) na efekte kvantne lokalizacije: primer družine t.i. limonastih biljardov (lemon billiards). Izračunali smo izjemno obsežno Husimijeve funkcije ter energijske spektre za celo vrsto biljardov (okoli 30 različnih biljardov iz te družine) ter proučili njihovo klasično dinamiko (strukturo klasičnega faznega prostora). Podrobna analiza je pokazala podobne vendar nekoliko drugačne lastnosti lokalizacije ter statistike spektrov kot v drugih biljardih. Semiempirična teorija je zelo obsežna.
Cilj 7: Podrobna analiza klasičnega transporta ter kvantne lokalizacije v gladkih hamiltonskih sistemih mešanega tipa: primer t.i. Dickeovega modela (dipolna sklopitev atomskega sektorja z elektromagnetnim poljem: dipolna sklopitev dvonivojskih atomov z bozonskim (fotonskim) poljem; model laserja). To delo se je izkazalo za zelo uspešno, in je prvi hamiltonski sistem z gladkim potencialom, kjer smo pokazali lokalizacijo kaotičnih stanj ter njene statistične lastnosti, namreč da lokalizacijska mera A izkazuje beta porazdelitev, ter da je povprečna vrednost ekvivalentna nIPR (normalized inverse participation ratio), in da vidimo Brodyjevo spektralno statistiko. V to delo je vključen predvsem Dr. Qian Wang, skupaj z vodjo projekta.
Cilj 8: Podrobna analiza Floquetovih sistemov (spektralna statistika in lokalizacija, še posebej v brcanem kvantnem rotorju) v mešanem režimu, predvsem analiza Husumijevih funckij ter potenčnega pojemanja deleža mešanih stanj, v kar se da velikem razponu vrednosti efektivne Planckove konstante. Delo je v teku, v sodelovanju z Hua Yan-om.
Cilj 9: Razvoj semiklasične teorije kvantne lokalizacije (v pripravi), za kar je predpogoj obširna semiempirična analiza različnih kvantnih sistemov. Zanima nas tako porazdelitev lokalizacijskih mer kakor tudi njihova povprečna vrednost, še posebej v relaciji s spektralno statistiko.
Cilj 10: Modeli pasastih naključnih matrik (Gaussovih in drugih) za izpeljavo beta porazdelitve lokalizacijskih mer, ki je univerzalna statistična lastnost lokalizacijskih mer v kontekstu kvantne lokalizacije. Imamo tako analitične kot numerične rezultate. Delo je v teku.
Cilj 11: Študij dinamike v kvantnih sistemih različnih režimov, v splošnem mešanega tipa, predvsem analiza kvantne difuzije v odnosu do klasične difuzije, ter vloga Heisenbergovega časa. V enodelčnih ter večdelčnih sistemih. Predvsem FPUT sistem.
Cilj 12: Študij strukture lastnih stanj ter kvantne evolucije v večdelčnem FPUT sistemu. Zanima nas tudi vprašanje klasične dinamike, transporta, ter lokalizacije ter analogija v kvantni sliki.
Cilj 13: Podrobna analiza končno časovne ergodičnosti v kaotičnih sistemih, navezujoč na najnovejši pomemben članek Giulia Casatija s kitajskimi sodelavci, ki ga je predstavil Prof. Casati na 20. Božičnem simpoziju fizikov Univerze v Mariboru (15. dec. 2023), kjer so obravnavali trikotniške biljardne sisteme ter Bunimovičev stadion, in pokazali natančno korespondenco med karakteristikami v klasičnem in kvantnem kaosu. Takšno korespondenco bomo proučili v Dickeovem modelu, ki je večdelčni sistem (many-body system), ki ima klasično limito z gladkim potencialom, izkazuje mešani dinamični režim, in v kaotičnih stanjih izkazuje kvantno lokalizacijo. To delo bo pomembna posplošitev omenjenega članka Casati et al. Delo je v teku v sodelovanju predvsem s Qianom Wangom.
O naših dosežkih, ki bodo objavljeni v uglednih in vodilnih znanstvenih revijah, smo poročali in bomo poročali na pomembnih mednarodnih konferencah ter simpozijih, vključno s tistimi, ki jih organizira CAMTP. http://www.camtp.uni-mb.si/.